Fundamentos Matemáticos: Da Transformada de Fourier à STFT

 

Transformada de Fourier Contínua (FT)

 

A Transformada de Fourier (FT) de um sinal contínuo x(t) é definida como:

Esta representação indica quais frequências estão presentes no sinal, mas não mostra quando elas ocorrem. Para sinais estacionários (cujas propriedades não mudam ao longo do tempo), a Transformada de Fourier é suficiente. No entanto, o áudio é um sinal não estacionário, exigindo uma abordagem diferente.

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Short-Time Fourier Transform (STFT)

 

A STFT introduz uma janela deslizante w(t) que isola segmentos de curta duração do sinal antes de aplicar a Transformada de Fourier. Matematicamente:

Onde:

• w(t) é uma função janela (ex.: Hann, Hamming, Blackman).

• t é o instante de tempo analisado.

• f é a frequência.

A STFT produz uma representação tempo-frequência, que pode ser visualizada através de um espectrograma.

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Parâmetros-Chave da STFT

 

A qualidade e a resolução da STFT dependem de:

 

Tamanho da janela (N)

 

• Janelas maiores → maior resolução em frequência, menor resolução no tempo.

• Janelas menores → maior resolução temporal, menor resolução em frequência (Princípio de Incerteza de Heisenberg-Gabor).

 

Overlap (sobreposição)

 

• Para evitar perda de informação, utiliza-se normalmente 50% a 75%.

 

Tipo de janela

 

• Retangular: Simples, mas com grandes lóbulos laterais (causa vazamento espectral).

• Hann / Hamming: Reduzem o vazamento, melhores para análise espectral.

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Espectrograma: Visualizando o Domínio Tempo-Frequência

 

Um espectrograma é a representação gráfica da magnitude da STFT (|X(t,f)|):

• Eixo X: Tempo

• Eixo Y: Frequência

• Cor / Intensidade: Energia (dB) ou magnitude

Características típicas em um espectrograma de áudio:

• Formantes: Bandas de alta energia relacionadas às ressonâncias vocais.

• Harmônicos: Componentes periódicos dos instrumentos musicais.

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Tipos de Espectrogramas

 

• Espectrograma de Amplitude: Mostra |X(t,f)|

• Espectrograma de Potência: Mostra |X(t,f)|²

• Espectrograma em Escala Logarítmica: Útil em áudio, pois a audição humana percebe frequências logaritmicamente (ex.: escala Mel)

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Aplicações no Processamento de Áudio

 

Compressão de Áudio (MP3, AAC)

 

A STFT identifica componentes irrelevantes (mascaramento auditivo) para compressão seletiva.

 

Reconhecimento de Fala e Música

 

Extração de MFCCs (Mel-Frequency Cepstral Coefficients), obtidos a partir do espectrograma.

 

Síntese e Modificação de Áudio

 

• Time-stretching e pitch-shifting (ex.: Phase Vocoder)

• Redução de ruído com filtros tempo-frequência (ex.: Wiener)

 

Análise de Instrumentos Musicais

 

Identificação de parciais harmônicas e transientes.

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Limitações e Alternativas

 

Limitações da STFT

 

• Compromisso tempo–frequência: não é possível alta resolução nos dois domínios simultaneamente.

• Efeito de borramento devido à convolução da janela.

 

Alternativas

 

• Wavelet Transform: melhor resolução temporal para altas frequências.

• Análise Espectral por Componentes (PCA/ICA).

• Distribuição Wigner-Ville: alta precisão, porém com interferências de termos cruzados.

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Conclusões

 

A análise de Fourier no domínio tempo-frequência (STFT + Espectrograma) é uma ferramenta poderosa no processamento de áudio, permitindo:

• Visualizar a evolução espectral do som.

• Extrair características para machine learning.

• Realizar modificações e síntese sonoras.

A eficácia depende da escolha correta dos parâmetros (tipo de janela, overlap, tamanho da FFT).
Para aplicações avançadas, podem-se usar métodos como wavelets ou modelos baseados em redes neurais (ex.: TF-GAN, WaveNet).